GEOMETRÍA DE LAS FORMAS

Sistema de Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Cartesianas

Para ordenar un espacio determinado se deberá establecer donde se encuentra cada uno de los puntos de ese espacio. Por esto se crearon los ejes de coordenadas donde puntos, ejes y planos son elementos fijos y a los cuales referimos el resto del espacio.

Es un sistema formado por dos rectas perpendiculares donde el origen es el punto de intersección entre ellas.

Las proyecciones determinan las distancias al origen y constituyen un par ordenado

(x ; y).

Coordenadas polares

En el espacio bidimensional tomamos un eje polar fijando en él un origen, un sentido positivo y una escala. Cualquier punto se lo puede determinar por su distancia al origen y el ángulo que se forma con el eje polar.

Vectores

Un vector es un segmento orientado, dentro del segmento consideramos a uno de los puntos como origen y al otro como extremo, es decir, hay un orden entre ellos. Un vector se define por tres elementos:

· Dirección: Dada por la recta que lo contiene.

· Sentido: Fija el orden en que hayamos elegido los puntos extremos.

· Modulo: longitud del segmento.

Los vectores representan fuerzas, velocidades o aceleraciones; se las llama magnitudes vectoriales.

Los vectores pueden ser:

· Iguales: Cuando tiene mismo sentido, dirección y mismo módulo.

· Opuestos: Tienen igual módulo y dirección, pero sentido contrario.

Componentes del vector:

· Proyecciones del vector sobre los ejes. (x ; y ; z). Es equivalente representar un punto por sus coordenadas o por su vector posición.

· Diferencia de vectores: AB = OB – OA = (xb ; yb) – (xa ; ya) = (xb – xa ; yb - ya)

· Sumatoria de vectores: A = (a_x ; a_y; a_z) y B = (b_x ; b_y ; b_z)

A + B = (a_x + b_x ; a_y + b_y ; a_z + b_z)

· Multiplicar por un numero real: k. A = (ka_x ; ka_y ; ka_z)

Ecuaciones de una recta en un plano

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos (a_X ; a_Y) y (b_X ; b_Y) la ecuación es:

1 y – a_Y = b_Y – a_Y

x – a_X b_X – a_X

Si en 1 hacemos multiplicación cruzada, se obtiene otra equivalente, si la igualamos a ¨t¨ que es un parámetro obtenemos:

2 y – a_Y = x – a_X= t

b_Y – a_Y b_X – a_X

Ecuación simétrica a_X ≠ b_X ; a_Y≠ b_Y; a_Z ≠ b_Z

Y de la ecuación 2 se obtiene:

3 x – a_X = t (b_X – a_X)

y – a_Y = t (b_Y – a_Y)

Ecuación paramétrica

Si se toman esas diferencias como parte de un vector:

(x – a_X; y – a_Y) = (t (b_X – a_X) ; t (b_Y ; a_Y))

Que es lo mismo que:

(x ; y) – (a_X ; a_Y) = (t (b_X ; b_Y) – (a_X; a_Y))

----- -------- --------- ---------

r a b a

Entonces queda:

_ _ _ _ _ _ _ _

r – a = t (b - a) o r = a + t (b - a)

Ecuación vectorial

Espacio tridimensional

Distancia entre dos puntos A = (a_X; a_Y ; a_Z) y B = (b_X ; b_Y ; b_Z):

D (AB)= | √ (b_X – a_X)² + (b_Y– a_Y)² + (b_Z – a_Z)² |

Números directores de la recta AB a cualquier terna (m,n,p) que cumple con:

m = n = p

b_X – a_X b_Y – a_Y b_Z – a_Z

Vectores tridimensionales

Teniendo un vector a = (a_X; a_Y ; a_Z) definimos:

1. Igualdad entre vectores (a_X ; a_Y ; a_Z) = (b_X; b_Y ; b_Z)

a_X= b_X ; a_Y = b_Y ; a_Z = b_Z

2. Suma de vectores a + b = (a_X + b_X; a_Y + b_Y; a_Z+ b_Z)

3. Producto de un vector por un escalar k (a_X ; a_Y ; a_Z) = (ka_X ; ka_Y ; ka_Z)

Versor: es un vector de modulo uno (i ; j ; k) i = (1;0;0) j = (0;1;0) k = (0;0;1)

Ej.: Vector r = (x;y;z) = r = xi + yj + zk (Ecuación canónica)

Modulo del vector |a| = √a_X²+ a_Y²+ a_Z²

El modulo de valor positivo determina la longitud del segmento.

Ecuación de la recta en el espacio

En el espacio tridimensional la ecuación vectorial de una recta r que pasa por un punto a, representada por su vector posición a = (a_x ; a_y; a_z) y tiene dirección c es:

r = a + t.c (Ecuación vectorial)

r = (x ; y ; z) a = (a_X ; a_Y ; a_Z) c = (b_X – a_X ; b_Y– a_Y ; b_Z – a_Z)

Por lo tanto obtenemos la ecuación parametrica:

x = a_X + t . c_X

y = a_Y + t . c_Y

z = a_Z + t . c_Z

Por eliminación del parámetro t se obtiene la ecuación simétrica.

x – a_Xy – a_Y z – a_Z

c_X c_Yc_Z

Si llegara a faltar c_X; c_{Y o}c_Zeso indicaque el plano esta contenido en los ejes restantes.

Dado un vector a = (a_X ; a_Y ; a_Z) sus cosenos directores resultan:

cos α = a_X cos β = a_Y cos γ = a_Z

|a| |a| |a|

cos α²+ cos β² + cos γ² = 1

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas:

Condición de paralelismo: v = k . w donde k es un numero real cualquiera, es decir que los vectores asociados tiene componentes proporcionales.

Condición de Perpendicularidad: exige que los vectores asociados tengan productor escalar 0.

v . w = 0

Alabeadas: Dos rectas son alabeadas cuando no son ni perpendiculares ni paralelas, no tiene ningún punto en común.

Producto Escalar

Sean los vectores a = (a_X ; a_Y; a_Z) y b = (b_X ; b_Y ; b_Z) se define el productor escalar a.b como a . b = |a| . |b| . cos θ donde θ es el ángulo formado por los vectores.

El resultado del producto escalar es un numero que se interpreta como el producto de la longitud de uno de los vectores por la proyección del otro sobre el.

El producto escalar cumple las siguientes propiedades:

Propiedad conmutativa: a . b = b . a
Propiedad distributiva: a . (b + c) = a . b + a . c
k ( a . b) = (ka.b)
a . a = |a|²
a. b = |a| . |b| . cos α

Ejemplo:

u = 2i – j – k v = 3i + 2j + 8k w = -4y +2j – 2k

(u + v) . w

Ecuación del plano

Sea un plano π que pase por el punto P y sea normal a OP = p. Sea Q un punto genérico de π y OQ = r, siendo r = (x ; y ; z). Como Q pertenece a π, entonces PQ = (r - p) pertenece a π, entonces p | (r - p) condición que nos permite escribir -1-(r - p) . p = 0

Si a 1 se le hace distributiva se llega a la ecuación vectorial del plano:

r . u_P= |p|

donde u_P = p= cos α i + cos β j + cos γ k es el versor de la dirección normal p al

|p| plano π y α β γ son sus ángulos directores.

Entonces como r . u_P queda expresada por r . u_P = x cos α + y cos β + z cos γ se llega a la ecuación general del plano

-2- A (x - x₀) + B (y – y₀) + C (z – z₀) (Ecuación cartesiana del plano)

Si a 2 lo resolvemos llagamos a:

Ax + By + Cz + D = 0 (Ecuación general del plano)

Ejemplo: Dado el plano π de ecuación: x + 2y + 2z -6 = 0. Hacer un grafico aproximado que muestre su posición en el espacio.

x + 2y + 2z -6 = 0

x + 2y + 2z = 6

6 6 6 6

x + y + z = 1

6 3 3

Intersección de planos

Sea el plano Ax + By + Cz + D = 0. Sus intersecciones con cada uno de los planos coordenados son las llamadas trazas del plano. Sus ecuación esta dadas por la solución de los sistemas formados por las ecuación del plano y las ecuación de cada plano coordenado.

· Traza sobre plano (x ; y) = Ax + By + D = 0 ; z = 0

· Traza sobre plano (x ; z) = Ax + Cz + D = 0 ; y = 0

· Traza sobre plano (y ; z) = By + Cz + D = 0 ; x = 0

La intersección de dos planos, si existe, es una recta cuyas ecuaciones se obtienen eliminando sucesivamente x e y, para obtener en cada caso las funciones lineales que son las ecuaciones de los planos proyectantes de la intersección.

(En el primer plano se despeja x y se introduce su resultado en el otro plano. Luego de obtenido y en función de z se introduce en x para obtener x en función de z. Quedando así la recta x = bla y = bla z = z)

Paralelismo y perpendicularidad entre planos:

Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos.

π1 // π2 si: A₁ = B₁= C₁

A₂ B₂ C₂

Dos planos son perpendiculares si el producto escalar de sus vectores normales es igual a cero.

π1 | π2 si: A₁ . A₂ + B_1.B_{2 +} C_{1 .} C₂= 0

Ax + By + Cz + D = 0

Donde A, B, C son las coordenadas del vector normal.

Posiciones relativas de rectas y planos

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

Condición de paralelismo: Se utiliza la recta y la normal al plano (recta). Se usa así la condición v . w = 0 (producto escalar).

Condición de perpendicularidad: La recta será perpendicular al plano si es paralela a la normal (plano). Se utiliza v = k . w.

Trabajo

Para fuerzas constantes y que tengan la misma dirección. Se utilizan vectores si se dan. Sino como esta.

T = f . d

T = f . d . cos α

CURVAS CONICAS

Las curvas cónicas pueden definirse como lugar geométrico de un conjunto de puntos tales que la distancia de cada punto del conjunto a un cierto punto fijo (foco) esta en relación constante con su distancia a una recta fija (directriz).

La relación de las distancias se denomina excentricidad.

Todas las curvas cónicas nacen del doble cono generado por una recta (generatriz) alrededor de un eje, describiendo una circunferencia (directriz) y manteniéndose siempre pasante por un punto del eje (vértice del cono).

Utilizando planos de corte se obtiene distintas curvas cónicas: elipse, parábola, hipérbola, circunferencia (caso especial de la elipse).

Ejemplos en el diseño industrial: elipse (bandeja; chapas de casas) ; circunferencias (ruedas de bicicletas) ; parábola (reja arcada) ; hipérbola…

Excentricidad:

La excentricidad de una cónica es la relación entre las distancias de un punto P al foco y de P a la directriz.

Parábola: e = 1

Elipse: 1 > e > 0 (cuanto mas próxima esta la e a 0, mas redondeada es la elipse)

Circunferencia: e = 0

Hipérbola: e > 1 (cuanto menor sea la e, mas cerradas serán las dos ramas de la hipérbola)

Elipse

Es el conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a los focos es constante. Son curvas cerradas, el plano corta a todas las generatrices.

C es la distancia entre el foco y el centro. Los dos focos están ubicados en el diámetro mayor. | a | son las coordenadas en x del vértice y | b | las coordenadas en y.

Esta curva es simétrica respecto de ambos ejes. Si se mantiene el valor de a fijo y se varia la distancia focal c, las elipses cambian de forma. A medida que c crece las elipses se van achatando. Se llama excentricidad al cociente entre el valor c y el de a.

e = c

a 1 > e > 0

Deducción de la ecuación:

Siendo los F₁ = (-c;0) y F₂ = (c;0) y siendo 2a la suma de las distancias PF₁ Y PF₂, las coordenadas del punto P = (x;y) de la elipse satisfacen la ecuación:

√ (x + c)² + y² + √ (x - c)²+ y² = 2a

Desarrollando esta expresión resulta la ecuación de la elipse:

x² + y²= 1 donde b² = a² – c²

a² b²

Ecuación de la elipse:

(x - h)² + (y - k)² = 1 centro (h ; k)

a² b²

En ambos casos la suma de las distancias de cualquier punto P de la elipse a cada uno de los focos es igual al diámetro mayor. Pf₁ + Pf₂ = 2 . (diámetro mayor, a o b según corresponda).

El centro de la elipse son las coordenadas (h ; k) siendo h en x y k en y.

Existen dos tipos de elipses:

Elipse horizontal

Una de sus características es que a > b.

Ecuación de los focos: c² = a² – b²

Coordenadas de los focos: f₁ = (h – c ; k) f₂ = (h + c ; k)

Elipse vertical

Una de sus características es que a < b

Ecuación de los focos: c²= b² – a²

Coordenada de los focos: f₁ = (h ; k - c) f₂ = (h; k + c)

Circunferencia

Es un caso especial de la elipse donde a = b y su excentricidad es 0.

Ecuación: (x - h)² – (y - k)² = r²

Parábola

Es el conjunto de puntos del plano que equidistan del foco y de una recta (directriz). La parábola es una curva abierta de una sola rama, el plano es paralelo a una generatriz.

La parábola tendrá sus ramas en el eje que no esta al cuadrado.

Las coordenadas de vértice son : (h_;k).

P es la distancia del foco a la directriz.

Deducción de la ecuación:

Siendo el F = (P/2;0) y la recta directriz x = -P/2, entonces DR = PF; por lo tanto, las coordenadas del punto P = (x;y) de la parábola satisfacen la ecuación:

x + P/2 = √ (P/2 - x)² + y²

Desarrollando esta expresión resulta la ecuación de la parábola:

y²= 2p x

Existen dos tipos:

Si la parábola se desarrolla en el eje x la ecuación es:

(y – k)²= 2p (x – h)

Ecuaciones de los focos:

y_F= k

x_F= h + p

Ecuación de la directriz:

x = h – p

Si p es + la parábola es C.

Si p es – la parábola es D.

Si la parábola se desarrolla en el eje y la ecuación es:

(x – h)²= 2p (y – k)

Ecuaciones de los focos:

x_F= h

y_F= k + p

Ecuación de la directriz:

y = k – p

Si p es + la parábola es U

Si p es – la parábola es ∩

Hipérbola

Es el conjunto de puntos del plano cuya diferencia de distancia a los focos es constante. Es una curva abierta de dos ramas, el plano es paralelo a dos generatrices.

La curva es simétrica respecto de ambos ejes y no toca al eje que esta restando.

El eje que corta la hipérbola es el eje real.

El centro de la hipérbola son las coordenadas (h ; k) siendo h en x y k en y.

C es la distancia entre el foco y el centro. A es la coordenada en x del vértice y b la coordenada en y.

Asíntotas:

y = - b. x y = b . x

a a

En ambos casos se verifica que:

c²= a² + b²

Deducción de la ecuación:

Siendo los F₁ = (-c;0) y F₂ = (c;0), debe ser PF₂- PF₁ = 2a. Dado el punto P perteneciente a la hipérbola, sus coordenadas satisfacen la ecuación:

√ (x + c)² + y²- √ (x - c)² + y² = 2a

Desarrollando esta expresión resulta la ecuación de la hipérbola:

x² - y²= 1 donde b² = c² – a²

a² b²

Puede ser de dos tipos:

Hipérbola que corta el eje x

Ecuación general:

(x - h)² - (y - k)² = 1

a² b²

Ecuación de los vértices:

v₁= (h – a ; k) v₂ = (h + a ; k)

Coordenadas de los focos:

f₁= (h – c ; k) f₂ = (h + c ; k)

Excentricidad: e > 1

e = c

Hipérbola que corta el eje y

Ecuación general:

(y - k)² - (x - h)² = 1

b² a²

Ecuación de los vértices:

v₁= (h ; k - b) v₂ = (h ; k + b)

Coordenadas de los focos:

f₁= (h; k - c) f₂ = (h ; k + c)

Excentricidad: e > 1

e = c

CUADRICAS

Definición: Son superficies en el espacio, generadas por curvas cónicas. Pueden ser regladas o de revolución.

Superficies cilíndricas y de revolución:

Se llama superficie cilíndrica, a la superficie formada por el conjunto de todas las rectas que cortan una curva plana y son paralelas a una recta fija que no esta en el plano de la curva. La curva se llama directriz y las rectas generatrices.

Se llama superficie reglada a la superficie que cumple con la condición de que por cada una de sus puntos pasa al menos una recta, llamada generatriz rectilínea, que tiene en común con la superficie un segmento que contiene dicho punto. Ejemplo: superficies cilíndricas y cónicas.

Se llama superficie de revolución a la superficie que se obtiene rotando una curva plana en torno a un eje. Se dice que la curva genera la superficie.

Teniendo una curva generatriz (C) definida sobre el plano (y , z) y siendo z el eje de revolución, un punto cualquiera P_O describirá una circunferencia de centro M y de radio MP_O = MP (siendo P un punto de la superficie de revolución).

Teniendo la ecuación de la curva F(y,z) = 0 entonces tenemos que

y = √ x² + y²

La variable de revolución queda igual y la otra variable presente la reemplazo por la ecuación, entonces se incluye la variable no presente hasta ahora.

Ejemplo:

x² + 4z²= 16 gira en el eje x

Entonces:

z = √ z² + y²

Reemplazando esta ecuación en la original tengo:

x² + 4(√ z² + y²)² = 16

x² + 4y² + 4z² = 16

Superficie esférica

La superficie esférica es generada por la rotación de una circunferencia alrededor de uno de sus diámetros. Como lugar geométrico, la esfera es el conjunto de puntos que equidistan de su centro (C= (x;y;z)).

Para cualquiera de estos puntos se deberá satisfacer la ecuación:

(x – x_O)² + (y – y_O)²+ (z – z_O)² = r²

Si se desarrolla esta ecuación:

x²+y²+z²+ Dx + Ey + Fz + G = 0

Cuando el centro coincide con el origen de coordenadas: C = (0,0,0) entonces x_O= y_O= z_O = 0 y en consecuencia la ecuación es:

x²+y²+z² = r²

La traza sobre el plano (xy)

Plano de ecuación z=0

Es una circunferencia: (x – x_O)² + (y – y_O)²= r²

La traza sobre el plano (xz)

Plano de ecuación y=0

Es una circunferencia: (x – x_O)² + (z – z_O)²= r²

La traza sobre el plano (yz)

Plano de ecuación x=0

Es una circunferencia: (y – y_O)²+ (z – z_O)²= r²

Intersección con los ejes coordenados

Intersección eje x: y = 0 z = 0 (+x;0;0)

Intersección eje y: x = 0 z = 0 (0;+y;0)

Intersección eje z: x = 0 y = 0 (0;0;+z)

Ecuaciones de las cuádricas

Se trata de polinomios de segundo grado y su diferencia con las cónicas es que estas son funciones de dos variables (x;y) mientras que las cuádricas son funciones de tres variables (x;y;z).

Elipsoides

Siendo a, b, c positivos; la longitud de los semiejes del elipsoide en la dirección de los ejes x,y,z respectivamente se define:

x² + y² + z² = 1 (ecuación canónica)

a² b² c²

Los elipsoides pueden ser considerados como generados por una elipse variable que se traslada paralela al plano (x,y) [Reglada]

La traza sobre el plano (xy)

Plano de ecuación z=0

Es una elipse: x²+ y² = 1

a² b²

La traza sobre el plano (xz)

Plano de ecuación y=0

Es una elipse: x² + z² = 1

a² c²

La traza sobre el plano (yz)

Plano de ecuación x=0

Es una elipse: y²+ z² = 1

b² c²

Intersección con los ejes coordenados

Intersección eje x: y = 0 z = 0 (x;0;0)

Intersección eje y: x = 0 z = 0 (0;y;0)

Intersección eje z: x = 0 y = 0 (0;0;z)

Para que exista intersección la distancia entre elipse y elipse debe ser mayor o igual que cero.

Como caso particular los elipsoides pueden ser de revolución. Si lo fueran alrededor del eje y, los semiejes a y c serian iguales, ya que la traza con el plano (xz) seria una circunferencia.

La ecuación:

x² + y² + z² = 1 (ecuación canónica)

a² b² c² a = c

Si tuviera los tres semiejes iguales (a=b=c), la ecuación seria:

x² + y² + z² = 1 (ecuación canónica)

a² b² c² a = c = b

Osea: x² + y² + z²= a² entonces seria una esfera de r = a

Hiperboloides

Hiperboloide de una hoja:Siendo a, b, c positivos se define:

x² + y² - z² = 1 (ecuación canónica)

a² b² c²

La traza sobre el plano (xy)

Plano de ecuación z=0

Es un elipse (las dos variables son positivas): x² + y² = 1

a² b²

La traza sobre el plano (xz)

Plano de ecuación y=0

Es una hipérbola (variable de distinto signo): x² - z² = 1

a² c²

La traza sobre el plano (yz)

Plano de ecuación x = 0

Es una hipérbolas (variables de distinto signos): y² - z² = 1

b² c²

Intersección con los ejes coordenados

Intersección eje x: y = 0 z = 0 (x;0;0)

Intersección eje y: x = 0 z = 0 (0;y;0)

Intersección eje z: No hay intersección.

El hiperboloide de una hoja es una superficie reglada pero cuando a = b, el hiperboloide será de revolución alrededor del eje z y su ecuación será:

x² + y² - z² = 1 (ecuación canónica)

a² b² c² a = b

Hiperboloide de dos hojas: Siendo a, b, c positivos se define:

- x² - y² + z² = 1 (ecuación canónica)

a² b² c²

La traza sobre el plano (xy)

Plano de ecuación z=0

No existe esta traza. - x² - y² = 1 (algo negativo menos algo no puede dar +)

a² b²

La traza sobre el plano (xz)

Plano de ecuación y=0

Es una hipérbola: - x²+ z² = 1

a² c²

La traza sobre el plano (yz)

Plano de ecuación x=0

Es una hipérbolas: - y²+ z² = 1

b² c²

Intersección con los ejes coordenados

Intersección eje x: No existe

Intersección eje y: No existe

Intersección eje z: x = 0 y = 0 (0;0;z)

En el caso en que a = b el hiperboloide es de revolución alrededor del eje z

- x² - y² + z² = 1 (ecuación canónica)

a² b² c² a = b

La traza sobre el plano (xy)

Plano de ecuación z=0

Son elipses: - x²- y² = 1

a² b²

La traza sobre el plano (xz)

Plano de ecuación y=0

Son hipérbolas: - x²+ z² = 1

a² c²

La traza sobre el plano (yz)

Plano de ecuación x=0

Son hipérbolas: - y²+ z² = 1

b² c²

Intersección con los ejes coordenados

Intersección eje x: No existe

Intersección eje y: No existe

Intersección eje z: x = 0 y = 0 (0;0;z)

Paraboloides

Paraboloide elíptico:Siendo a, b, c positivos se define:

x² + y² = c.z (ecuación canónica)

a² b² siendo c>0

La traza sobre el plano (xy)

Plano de ecuación z=0

Es un punto (origen): x²+ y² = 0

a² b²

La traza sobre el plano (xz)

Plano de ecuación y=0

Es una parábola: x² = c.z

a²

La traza sobre el plano (yz)

Plano de ecuación x=0

Es una parábola: y² = c.z

b²

Intersección con los ejes coordenados

Intersección eje x: y = 0 z = 0 (x;0;0)

Intersección eje y: x = 0 z = 0 (0;y;0)

Intersección eje z: x = 0 y = 0 (0;0;z)

En el caso en que a = b, el paraboloide será de revolución alrededor del eje z:

x² + y² = z (ecuación canónica)

a² b² c a = b

Paraboloide hiperbólico:Siendo a, b, c positivos se define:

- x² + y² = c.z (ecuación canónica)

a² b² siendo c>0

La traza sobre el plano (xy)

Plano de ecuación z=0

Son dos rectas (asintotas): -x² + y² = 0 (se distribuye)

a² b²

La traza sobre el plano (xz)

Plano de ecuación y=0

Es una parábola de eje z: -x² = c.z

a²

La traza sobre el plano (yz)

Plano de ecuación x=0

Es una parábola de eje z: y² = c.z

b²

Intersección con los ejes coordenados

Intersección eje x: y = 0 z = 0

Intersección eje y: x = 0 z = 0

Intersección eje z: x = 0 y = 0

El paraboloide hiperbólico no puede ser de revolución, ya que ninguna de sus secciones planas es elíptica, pero es una superficie reglada, pues por cada uno de sus puntos para un generatriz que es asíntota del sistema de hipérbolas.

Cono cuádrico: Siendo a, b, c positivos se define:

x² + y² = z² (ecuación canónica)

a² b² c²

La traza sobre el plano (xy)

Plano de ecuación z=0

Es un punto (centro 0,0,0) x² + y²= 0

a² b²

La traza sobre el plano (xz)

Plano de ecuación y=0

Son dos rectas: x² = z² (de distribuye y entonces (x + z). (x - z) = 0)

a² c² a c a c

La traza sobre el plano (yz)

Plano de ecuación x=0

Son dos rectas: y² = z² (de distribuye y entonces (y + z). (y - z) = 0)

b² c² b c b c

Intersección con los ejes coordenados

Intersección eje x: y = 0 z = 0

Intersección eje y: x = 0 z = 0

Intersección eje z: x = 0 y = 0

Cilindros cuádricos

La superficie engendrada por una elipse, hipérbola o parábola que se mueve paralelamente a si misma, manteniendo centro o vértice sobre una recta perpendicular a su plano es un cilindro.

Si son de generatrices paralelas al eje z, perpendiculares al plano (x;y) tiene ecuaciones para cualquier valor de z.

Cilindro elíptico: x² + y² = 1

a² b²

La traza sobre el plano (xy)

Plano de ecuación z=0

Es una elipse: x² + y²= 1

a² b²

La traza sobre el plano (xz)

Plano de ecuación y=0

Son dos rectas: x² = 1

a²

La traza sobre el plano (yz)

Plano de ecuación x=0

Son dos rectas: y² = 1

b²

Intersección con los ejes coordenados

Intersección eje x: y = 0 z = 0

Intersección eje y: x = 0 z = 0

Intersección eje z: No existe

Cilindro parabólico: x²= 2pz o y² = 2px

La traza sobre el plano (xy)

Plano de ecuación z=0

Es el eje y (apoyan todas las parábolas)

La traza sobre el plano (xz)

Plano de ecuación y=0

Es una parábola

La traza sobre el plano (yz)

Plano de ecuación x=0

Es el eje y.

Intersección con los ejes coordenados

Intersección eje x: x = 0

Intersección eje y: y = 0

Intersección eje z: z = 0

Cilindro hiperbólico: x²- y² = 1

a² b²

La traza sobre el plano (xy)

Plano de ecuación z=0

Es una hipérbola: x² - y²= 1

a² b²

La traza sobre el plano (xz)

Plano de ecuación y=0

Es un punto. x² = 1

a²

La traza sobre el plano (yz)

Plano de ecuación x=0

No existe

Intersección con los ejes coordenados

Intersección eje x: y = 0 z = 0

Intersección eje y: No existe

Intersección eje z: No existe

HELICE Y HELICOIDE

Hélice cilíndrica circular:

La hélice circular, es la curva trazada por un punto P, que se mueve con movimiento circular uniforme. Este consiste en una rotación alrededor del eje del cilindro y una traslación en la dirección z.

Un punto sobre la circunferencia (centro O y radio R) gira alrededor del centro con una velocidad angular

ω = σ = cte

A la vez, el centro se desplaza por el eje z a una velocidad de traslación constante.

Si R es el radio del cilindro sostén entonces:

x = R. cos α

y = R. sen α

z = k . ωt

P es el paso de la hélice y es la distancia entre dos intersecciones consecutivas de la hélice.

P = k . 2π

Helicoide recto

Un helicoide recto es el lugar geométrico de las rectas paralelas al plano de la base de una hélice circular, cortan con un eje.

Si la hélice circular es:

x = R. cos α

y = R. sen α

z = k . ωt

Una recta paralela al plano es una generatriz del helicoide si corta al eje z y a la hélice.

La ecuación del helicoide es:

Z = k arc tg y donde y = tg ωt z = k . ωt

x x

GRAFOS

Definición de grafo

Se llama grafo a una terna G = (V , A , φ) donde V y A son conjuntos finitos y φ es una aplicación que hace corresponder a cada elemento de A un par de elementos de V.

Los elementos de V son los vértices de G, y los elementos de A son las aristas de G, y φ es la aplicación de incidencia que asocia a cada arista sus dos vértices.

La representación grafica de un grafo se efectúa asociando a cada vértice un punto del plano de dibujo y a cada arista una línea que une los puntos asociados con los vértices.

El grado de un vértice es el numero de aristas que en el inciden. Un vértice se dice aislado si su grado es nulo y pendiente si su grado es 1.

Dos o mas aristas se llaman múltiples si tienen por extremos los mismos vértices.

Un lazo es una arista cuyos dos extremos coinciden en un vértice.

Un vértice y una arista son incidentes si el vértice es extremo de la arista.

Dos vértices son adyacentes si son extremos de la misma arista.

Dos aristas son adyacentes si tienen un vértice en común.

Dos grafos P y P´ son isomorfos si tienen la misma cantidad de vértices y aristas y se mantiene las relaciones de adyacencia e incidencia entre ambos.

Conceptos no orientados

· Arista: Existe una arista entre dos vértices x e y distintos del grafo si existe un arco que va de x a y o de y a x.

· Cadena: Sucesión de aristas adyacentes.

· Ciclo: Cadena finita en la que el vértice inicial coincide con el final.

Tipos de grafos

Grafo vacío: Es todo grafo que no posee aristas, aunque pueda contener vértices.

Grafo sencillo: Es todo grafo que no tiene ni lazos ni aristas múltiples.

Grafo k – regular: Es en el que todos los vértices tiene igual grado k.

Grafo completo de n vértices: Es todo grafo sencillo en el que todo par de vértices determina una arista. Todos sus vértices tienen grado n –1 y el numero de aristas es n n-1

Grafo complemento de G (C_G): Es el que tiene los mismo vértices que G y cuyas aristas no pertenecen a G.

Subgrafo: Es cuando los vértices y las aristas están incluidos en los vértices y las aristas de G. Pueden tomarse respecto de un vértice (se anula el vértice y todas las aristas que en el inciden) o bien respecto de una arista (se anula la arista).

Grafo euleriano: Es cuando todas sus aristas pueden recorrerse en un solo trazo sin pasar dos veces por alguna de ellas y volver al punto inicial. Para que un grafo sea euleriano, solo puede tener como máximo dos vértices a los que concurra un número impar de aristas. En todos los demás vértices debe incidir un número par de aristas.

Grafo euleriano restringido: es cuando se pueden recorrer todos los vértices sin repetir ninguno y no vuelvo al vértice inicial.

Grafo hamiltoniano: Es cuando existe un recorrido que pasa por todos los vértices una sola vez, sin necesidad de recorrer todas las aristas.

Grafo p – coloreado: Son grafos de V vértices y p subconjuntos de pares no ordenados de elementos de V, determinados por otras tantas aplicaciones φ. Un grafo p – coloreado posee aristas de p clases distintas que se colorean en forma diferente.

Grafo rotulado: Es el que tiene sus vértices individualizados por números o letras.

Especificación y representación de grafos.

· Enumerando sus vértices y sus aristas, agregando un listado de las relaciones entre esas partes.

· Mediante matrices. Las matrices son arreglos rectangulares de números cuya dimensión esta dada por el numero de filas multiplicado por el numero de columnas.

o La matriz de incidencia tiene n filas y k columnas, donde cada fila corresponde a un vértice y cada columna a una arista. En el lugar de cruce se escribe un 1 si el vértice y la arista son incidentes y un 0 si no lo son.

o La matriz de adyacencia de vértices es cuadrada y tiene n filas por n columnas. En el lugar de cruce se escribe un 1 si el vértice si los vértices son adyacentes o un 0 si no lo son.

o La matriz de adyacencia de aristas es cuadrada y tiene k filas por k columnas. En el cruce se escribe un 1 si las aristas son adyacentes y un 0 si no lo son.

· Mediante rejillas: En ellas los vértices y las aristas se representan en una grilla ortogonal, colocando un punto en las intersecciones cuando se cumple la relación de incidencia (o de adyacencia).

· Diagrama de punto entrelazados: es en los que los vértices y/o las aristas se representan mediante dos columnas de puntos enfrentados, uniendo los puntos cuando se cumple la relación.

· Representación poligonal: es en la que los vértices se ubican formando un polígono regular, y las aristas aparecen como lados. En algunos casos, se trata de convertir esta representación en otra con mínimos cruces.

Grafos dirigidos o dígrafos

Un dígrafo es un grafo cuyas aristas tienen un sentido u orientación determinado. En este caso, las aristas se denominen arcos. El arco (ab) esta dado por un par ordenado: a es el vértice inicial y b es el vértice final.

Un grafo se dice fuertemente conexo si entre dos vértices cualquiera existe un camino de cualquier longitud que va de uno a otro.

Un grafo es conexo si entre dos vértices cualquiera existe una cadena.

Es no conexo cuando tiene partes separadas.

Una componente fuertemente conexa es una parte del dígrafo que sea fuertemente conexa.

Conceptos Orientados

· Vértices: Puntos que representan los elementos del conjunto V.

· Arcos: Líneas orientadas que unen pares de vértices y representan los elementos del conjunto A.

· Extremos inicial y extremos final de un arco: Vértice del que parte un arco y vértice al que llega.

· Camino: Sucesión de arcos adyacentes tales que el extremo final de uno coincide con el extremo inicial del siguiente.

· Longitud: Numero de arcos del camino.

· Circuito: Camino en el que el vértice inicial coincide con el final.

· Lazo: Circuito de longitud 1.

Grafos Planos

Un grafo es plano si existe un grafo isomorfo que puede dibujarse en el plano de modo que las aristas solo se crucen en los vértices.

Un grafo es no plano cuando no existe un isomorfo que pueda dibujarse sin que sus aristas se crucen.

Teorema de Kuratowski

La condición necesaria para que un grafo sea plano es que no admita subgrafos ni del tipo K_3,3 ni del tipo K_5.Siendo estos los grafos no planos que definen toda una familia de subgrafos no planos. Solo vértices de grado mayor o igual que 4 son candidatos para el K₅, y solo vértices de grado mayor o igual que 3 son candidatos para el K_3,3.

Grafos poligonales

Llamaremos grafo poligonal a un grafo plano conexo que es reunión de ciclos, tal que existe un ciclo mínimo y otro máximo. En todo grafo poligonal se cuenta no solamente el numero de vértices V y el de aristas A, si no también el de caras C, incluida la cara del infinito.

Si se consideran los 5 poliedros regulares (tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo y dodecaedro) se puede comprobar que, entre el numero C de caras y el numero V de vértices y el numero A de aristas, vale la formula de Euler: C + V = A + 2

La formula de Euler es también valida en cualquier grafo poligonal. Un grafo poligonal es regular si el grado de cada vértice es el mismo.

Un grafo es completamente regular si es regular y además cada cara tiene el mismo número de aristas limitantes. Los grafos completamente regulares no triviales son los asociados con los 5 poliedros regulares.

Grafos duales

Sea G un grafo plano y conexo, si se construye un grafo G´

· A cada cara de G le corresponderá un vértice de G´

· A cada vértice de G le corresponderá una cara de G´

· A cada arista de G le corresponderá una arista de G´

· Dos vértices de G´ están unidos por una arista si las caras correspondientes de G tienen una arista en común. Entonces G´ es el grafo dual de G

Dado un grafo plano y conexo G, si se construye su grafo dual G´ y luego el dual G´´ de G´ , G Y G ´´ son isomorfos.

Mosaicos regulares

Es un tipo especial de recubrimiento del plano. Los diferentes tipos de mosaicos se obtienen siguiendo un principio general de repetición de un modulo en dos direcciones, con condiciones restrictivas de acoplamiento y regularidad.

No puede haber huecos ni superposiciones. La arista de un modulo tiene que ser coincidente con la arista del otro. La sumatoria de los ángulos que concurren de los vértices tiene que ser 360°. Cada ángulo interno mide:

(n - 2) . 180°

En cada vértice tendremos entonces el siguiente numero de polígonos:

360° = 2 n

(n - 2). 180° n -2

Como este numero debe ser entero, para n > 2, n tiene que ser igual a 3 , 4 o 6. Esto significa que plano puede recubrirse totalmente con mosaicos triangulares, cuadrados y hexagonales.

SIMETRÍA

La definición geométrica habla de la correspondencia exacta en la disposición regular de las partes, puntos de un cuerpo o figura con relación a un centro, un eje o un plano.

Se dice que una configuración espacial es simétrica respecto de un plano E si puede superponerse sobre si misma por reflexión en dicho plano.

Simetría traslatoria, rotatoria y afín

Simetría: Es un conjunto de las transformaciones del plano que dejan invariantes las figuras. La simetría de una figura cualquiera del espacio que descripta por un subgrupo de dicho grupo. Estos subgrupos son:

Traslación: Queda definida por un vector que indica en que dirección se traslada y cuanto se traslada.

Axial o reflexiva: Dos puntos P y P´ son simétricos respecto a una recta ¨r¨ llamada eje de simetría. Si se encuentran sobre un mismo plano perpendicular a dicha recta y equidistan de la misma.

Giro centro ¨o¨ y ángulo de giro ¨α¨: Es la transformación que a todo punto P le hace corresponder otro punto P´, tal que OP = OP´ y el angulo POP´ = α

Rotaciones = antihorario positivo

Simetría axial = espejo

Simetría central equivale a una rotación 180º

La simetría axial (composición) es conmutativa.

NUMERO DE ORO

El numero de oro corresponde matemáticamente a la división de un segmento en media y extrema razón. En efecto sea el segmento AB que se quiere dividir mediante un punto C en dos partes de manera que:

AB = AC

AC CB

Llamando AC = a; CB = b se tiene la relación 1+ b = a

a b

Esta igualdad se puede escribir, indicando con x = a como:

1+1= x

De donde resulta:

x²= 1+x

Esta ecuación de segundo grado en x, tiene como solución positiva el siguiente valor que no es mas que el numero de oro Ф.

x = 1 + √5 = 1,618...

Ф = 1,618...

Se puede obtener también el número de oro, como el cociente de las longitudes de una diagonal y un lado de un pentágono regular.

Sección Áurea

Un rectángulo es áureo, si sus lados están en la relación 1:Ф (número de oro).

Obtención de un rectángulo áureo:

A partir de un cuadrado de lados = b; marcamos el punto medio de un lado. Unimos ese punto con un vértice opuesto. Tomamos la medida de ese segmento y la trasladamos hacia el lado donde marcamos el punto medio.

El rectángulo áureo tiene base a y altura b y se cumple:

a = Ф

DERIVADAS

Definición de derivada

La derivada de un función f (x) en un punto x_o, indicada por f´(x), es un numero real que mide la pendiente de la recta tangente a la curva que representa la función.

Funciones crecientes y decrecientes

· F(x) es creciente en un intervalo (a , b) si f (x₁) < f (x₂) y su derivada resulta f´(x) > 0

· F(x) es decreciente en un intervalo (a , b) si f (x₁) > f (x₂) y su derivada resulta f´(x)<0

Concavidad de las funciones

· Si los puntos de f (x) están por encima de la recta tangente (f´´(x)), entonces la concavidad será hacia arriba. En caso contrario, si se encuentran por debajo, la concavidad será hacia abajo.

· Se llama punto de inflexión, al punto en que la curva cambia de concavidad en un sentido u otro. En este punto, f´´(x) = 0

Máximos y mínimos de un función

Para determinar los máximos y mínimos, se utiliza el criterio de la 2da derivada (condición suficiente):

· Si f´´(x_o)>0, hay un mínimo local en x_o

· Si f´´(x_o)<0, hay un máximo local en x_o

Derivadas

Aplicaciones físicas: (velocidades)

Ejemplo: Desde una plataforma ubicada a 20 m de altura se arroja un proyectil verticalmente y hacia arriba, con una velocidad inicial de 50 m/seg. Si la ecuación horaria del mismo es

s(t) = 20 + 50t + 5t² Calcular. La velocidad del proyectil en el instante t = 2.

Si se deriva la ecuación se tiene la velocidad instantánea.

S´(t) = 50 - 10t

S´(2) = 50 - 10 . 2 = 50 – 20 = 30 m/seg

Aplicaciones geométricas: (optimizacion)

Ejemplo: Si se desea cercar una superficie rectangular con una pared en una de sus costados y se dispone de 100 m de alambre para cerco. Determinar el área máxima que se puede abarcar con esa cantidad de alambre:

Sea x el ancho en metros de la superficie a cercar e y su longitud, de modo que y = 100 – 2x

El area total esta dada por:

A(x) = xy = x (100 – 2x)

A(x) = 100 x – 2x²

La funcion A(x) es derivable

A´(x) = 100 – 4x

A´´(x) = -4

Entonces para buscar el valor que maximiza la funcion A´(x) = 0

100 – 4x = 0

x = 25

Ejemplo2: Hallar dos números positivos cuya suma sea 20 y además la suma de sus cuadrados sea mínima.

Dos números tales que su suma sea 20

X + y = 20

Y la suma de sus cuadrados sea mínima

X² + y² = mínimo

Despejo en la primera ecuación: y = 20 – x

Reemplazo en la 2da: x² + (20-x)²

Desarrollo: x² + 20² – 2.20 + x²

Llegue a esto que tiene que ser el mínimo: 2x²– 40x +400 = mínimo

Derivo: 4x – 40

Igualo a cero para buscar puntos críticos: 4x – 40 = 0

X = 40/4 = 10

Reemplazo en las ecuaciones y obtengo que números me tiene que dar.

Integrales

Aplicaciones físicas: (momentos y baricentro)

Ejemplo:

Aplicaciones geométricas: (cálculo de áreas; volumen de revolución)

Ejemplo: Calcular el área limitada por las curvas:

Y = 2x ; y = 0 x = 2
y = x³ – 6x² + 8x ; y=0

Ejemplo 2 = Calcular el volumen de revolución.

y = 2x² desde x = 0 hasta x = 5
x² + y² = 4 desde x = -r hasta x = r

INTEGRALES

Ley de Barrow: Sea F (x) una primitiva de f (x):

_a∫^b f(x) dx = F(b) – F(a)

Dadas dos funciones, con dos intervalos distintos, en los cuales en el primer intervalo f(x) es el techo y g(x) el piso; en el segundo intervalo f(x) es el piso y g(x) el techo.

_a∫^b [f(x) – g(x)] dx + _b∫^c[g(x) – f(x)] dx

Trabajo de una fuerza

Dada una fuerza constante, el trabajo será T = F. d (siendo d la distancia a la que se ha desplazado el objeto) Sin embargo siendo F una fuerza no constante, se utilizara la integral definida para resolver el trabajo en distintos intervalos; obteniendo el trabajo total al sumar dichos intervalos.

T = _a∫^b f(x) dx

Un ejemplo del trabajo efectuado por una fuerza variable es el estiramiento o compresión de un resorte, de acuerdo con la ley de Hooke la fuerza F requerida es proporcional a la longitud del resorte:

F (x) = k. x

Donde k es la constante del resorte. Si el resorte se estira desde un punto a hasta un punto b:

T = k _a∫^b x dx

Momentos y centro de gravedad

Momentos y centro de gravedad de un sistema de puntos materiales sobre una recta:

Se define momento de primer orden (momento estático) M⁽¹⁾ respecto del origen O, a la suma de los productos de las abscisas (x₁, x₂,x_N) por las masas correspondientes.

M⁽¹⁾= ∑ mi.xi / M⁽¹⁾= ∑ mi.yi

Se define momento de segundo orden (momento de inercia) M⁽²⁾ respecto de un origen O, a la suma de los productos de las masas por los cuadrados de las distancias al origen.

M⁽²⁾= ∑ mi.xi² / M⁽²⁾= ∑ mi.yi²

El centro de gravedad es donde se concentra la masa total del sistema, su momento estático seria igual al momento estático del sistema.

El valor x_Gde la posición de un punto sobre la recta, que tomado como nuevo origen, anula el momento estático, se llama abscisa del centro de gravedad. El punto G es el centro de gravedad del sistema de masas mi distribuidas en los punto de abscisa xi.

x_G= ∑ mi.xi y_G= ∑ mi.yi

∑ mi ∑ mi

G = (x_{G ;} y_G)

Momentos y centro de gravedad de un sistema de puntos materiales sobre un plano.

Se define momento de primer orden M_x⁽¹⁾respecto del eje de las abscisas a:

M_x⁽¹⁾= ∑ mi.yi / M_y⁽¹⁾= ∑ mi.xi

Los momentos de inercia son:

M_x⁽²⁾= ∑ yi².mi / M_y⁽²⁾= ∑ xi².mi

Momento polar:

M_O⁽²⁾ = M_x⁽²⁾+ M_y⁽²⁾

Para hallar el punto G = (x_{G ;} y_G):

x_G= ∑ mi.xi = M_y⁽¹⁾ y_G= ∑ mi.yi = M_x⁽¹⁾

∑ mi M ∑ mi M

Momentos y centro de gravedad de superficies y volúmenes.

Centro de gravedad de una superficie (lamina homogénea):

Teniendo una figura plana delimitada por la curva AB (y = f (x)) y el eje de las abscisas, entonces el momento estático es:

M_x⁽¹⁾= k _a∫^b xy dx M_y⁽¹⁾= k _a∫^b y² dx

Teniendo en cuenta que las masa total M_T de la figura es M_T = k . A , siendo k la densidad y A el área de la figura plana:

A = _a∫^b y dx

Las coordenadas del centro de gravedad son:

x_G= 1 _a∫^b xy dx y_G= 1 _a∫^b y² dx

A 2A

Si la figura plana tiene un eje de simetría, el centro de gravedad deberá estar sobre ese eje y si posee dos, se hallara en la intersección de ambos.

Centro de gravedad de un sólido de revolución.

Solamente se puede obtener el centro de gravedad de un sólido de revolución, mediante una integral definida, ya que por razones de simetría el centro de gravedad estará ubicado sobre el eje en que ha girado el arco de curva plana que forma el sólido.

En el sólido de revolución la única coordenada del centro de gravedad que hay que obtener es la eje de revolución, debido a que las otras coordenadas serán cero.

x_G= π _a∫^bxy² dx

Donde V es el volumen del cuerpo de revolución:

V= π _a∫^b y²dx

Deducción del volumen de revolución:

Se debe trasladar a un plano 2d y dividir el intervalo [a;b] en n partes.

a = x₀ < x₁ < x₃< x_i = b

x _i-1 < c_i < x_idonde c_i = x = ancho de cada parte

Si el volumen se obtiene por generar la curva alrededor del eje x.

Vt = ∑ π. f(c_i)²∆x_i

V= lim _{∆xi → 0}∑ π. f(c_i)²∆x_i

^{n → ∞}

V= π _a∫^b f(x)²dx F(x) = y

V= π _a∫^b y²dx

Momento de Inercia de Placas Planas

Se consideran placas planas a aquellos cuerpos donde una de las dimensiones, el espesor, es despreciable respecto de las otras dos. Para calcular sus momentos de inercia se utiliza el Teorema de Steiner. Este teorema se utiliza cuando el momento de inercia no tiene su centro en el eje en cuestión, y se encuentra separado a una distancia d.

M_xx⁽²⁾ = M⁽²⁾ + A.d²

Momento de Inercia de una superficie según su ubicación en el plano.

1. Cuerpo Rectangular apoyado sobre el eje:

M_XX⁽²⁾= b . h³ M_yy⁽²⁾= h . b³

3 3

2. Cuerpo Rectangular, el eje pasa por el centro:

M_XX´⁽²⁾= b . h³ M_yy´⁽²⁾= h . b³

12 12

3. Cuerpo Rectangular, el eje separado del cuerpo:

M_xx⁽²⁾ = M⁽²⁾ + A.d²

PROBABILIDAD

Espacio muestral: es el conjunto de los resultados diferentes derivados de un experimento aleatorio. Cada uno de los resultados que pertenece a un espacio muestral será un suceso.

· Suceso seguro P = 1

· Suceso imposible P = 0

· Ocurrencia incierta P = n

· Punto de indiferencia P = 0,5

Definición clásica o canónica (Laplace)

La probabilidad se define como el número de casos favorables a un suceso divididos por el número de casos posibles. Es aplicable cuando los números son finitos y cuando los casos posibles son equiprobables.

La probabilidad de que ocurra un suceso A es:

P_(A)= c (casos favorables)

n (numero total de casos)

Ejemplo: El dado, la probabilidad de sacar dos seis es igual a 1/6.1/6 = 1/36

Definición basada en la frecuencia (Von Misses)

Los sucesos deben ser indefinidamente repetibles bajo las mismas condiciones. Si en n pruebas, el suceso A se presento una cierta cantidad de veces Y_(A) entonces:

f_(A)= Y_(A) (es la frecuencia absoluta de aparición del suceso a)

n (numero de casos)

Definición axiomática (Kolmogroff)

Se establece un conjunto de axiomas, estos se basan en la teoría de conjuntos y se visualizan mediante el diagrama de Venn.

Los sucesos se pueden clasificar en:

Incompatibles (excluyentes o mutuamente excluyentes): A ∩ B = Θ (si un suceso se esta dando, el otro no puede ocurrir).

Ejemplo: Se tira un dado tres veces. Cual es la probabilidad de que salgan todos ases?. Es un suceso independientes porque lo que ocurren en la primera tirada no influye en las demás tiradas.

Entonces: P_(3A)= P_(A1) . P_(A2) . P_(A3)= 1/6 . 1/6 . 1/6 = 1/216

Compatibles (no excluyentes): A ∩ B ≠ Θ (si un suceso se esta dando el otro puede ocurrir también). Se clasifican en:

Compatibles condicionados: La ocurrencia de uno de los sucesos condiciona la ocurrencia del otro suceso.

Ejemplo: Se extraen y sin reposición 2 naipes de una baraja española de 40. Calcular la probabilidad de que sean dos cartas de oro. Al sacar la primera carta de oro, modifico la posibilidad de que salga otra de oro en la segunda vez.

Entonces: P_(O1_∩_O2) = P_(O1) . P_(O2) = 10/40 . 9/40

Compatibles independientes: Cada suceso posee su propio espacio muestral. La ocurrencia de uno no modifica la ocurrencia del otro.

Ejemplo: Un alumno decide contestar las respuestas de un parcial eligiendo al azar, cual es la probabilidad de que acierte las 5? Responde las preguntas son sucesos independientes entonces la intersección es el productor de las probabilidades. P_{(V1 ∩ V2 ∩ V3 ∩ V4 ∩ V5)} = P_(V1) . P₍_V2₎. P_(V3). P₍_V4₎. P_(V5)

Axiomas de la probabilidad

Axioma 1: La probabilidad de que ocurra un suceso A es un numero real no negativo:

P_(A) ≥ 0

Axioma 2: La probabilidad de un suceso cierto es igual a la unidad:

P_(E) = 1

Axioma 3: La suma de dos sucesos excluyentes es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. Si A ∩ B = Θ entonces P_{(A U B)} = P_(A)+ P_(B)

Propiedades y reglas de cálculo de la probabilidad

La probabilidad es un numero real comprendido entre 0 y 1 teniendo P_(E) = 1 y a su vez E = A U Ā entonces P_{(A U Ā)} = P_(A) + P₍_Ā₎= 1
Dados dos sucesos compatibles, la probabilidad de que ocurra uno de ellos es igual a la suma de las probabilidades individuales menos la probabilidad de que ambos se presenten simultáneamente P_{(A U B)} = P_(A) + P₍_B₎- P_{(A∩ B)}
La probabilidad de que el evento A vaya a ocurrir, sabiendo que el evento B ha sucedido, se denomina como probabilidad condicional del suceso A, respecto del suceso B entonces P_(A/B) = P_{(A∩ B)}

P₍_B₎

Ejemplo: Un equipo electrónico consta de dos circuitos A y B. La probabilidad de que

A falle es de 0,2. Que falle solamente B es de 0,15. Y que fallen ambos a la vez 0,15.

Calcular que falle A sabiendo que B fallo.

P(falle a / sabiendo que b fallo) = P_{(A∩ B)}

P₍_B₎

P₍_B₎=P_{(A∩ B)}+ P_{(B∩ |A|)}= 0,15 + 0,15 = 0,30

P(falle a / sabiendo que b fallo) = P_{(A∩ B)} = 0,15 = 0,5

P₍_B₎ 0,30

Dados dos sucesos independientes, la probabilidad de que ocurran ambos es igual al producto de las probabilidades de ocurrencia de cada uno de ellos por separado. Se dice que dos sucesos A y B son independientes si se cumple: P_(A/B) = P₍_A₎entonces P₍_A₎ = P_{(A∩ B)}

P₍_B₎

Teorema de Bayes

Si en lugar de un suceso A, se tiene un conjunto de n sucesos A mutuamente excluyentes, que pueden producir el suceso B. Si la realización de un suceso B depende necesariamente de que ocurra uno de los acontecimientos excluyentes (A₁; A₂; A_n) y se sabe que B se ha producido la probabilidad de que el suceso A, se haya producido juntamente con B esta dada por la expresión:

P_(A1/B) = P_(B/A1₎ . P₍_A1₎

P_(B/A1₎ . P₍_A1_{) +}P_(B/A2₎ . P₍_A2_{) +}P_(B/An₎ . P₍_An₎

Ejemplo: Tres cajas A1, A2, A3, contienen bolillas de las cuales x son rojas, el suceso B es igual a sacar una roja; que probabilidad hay que sea de la caja A1.

ESTADÍSTICA

La estadística es un método de descripción numérica de conjuntos numerosos, es decir, un método de descripción cuantitativa que utiliza el dato numérico como soporte.

· Variable cierta: se llama al atributo (por ejemplo la altura).

· Frecuencias absolutas: Es el numero de veces que se repite el valor de la variable (cantidad de individuos para un valor determinado) Yi.

· Frecuencias relativas: indica el porcentual o proporción de repetición de la variable.

fi = Yi

N (numero total de población)

∑ fi = 1 porque N = ∑ Yi

Medidas de posición

Representan los valores características del conjunto, es decir la moda, la media, la mediana y los fractiles.

Modo o moda: es el valor mas frecuente de la variable, el valor dominante. Un conjunto observado M_Opuede ser unimodal (moda única), cabe suponer que la serie de frecuencias corresponde a una población homogénea. Si la grafica presenta mas de un máximo, se llama multimodal o plurimodal y corresponde a una población heterogénea. La serie también pude ser amodal (carente de moda o todos los valores tienen la misma frecuencia).

En el histograma el valor de la moda se halla buscando la intersección de las líneas punteadas en el intervalo modal de máxima frecuencia.

M_O = i + A . ancho (intervalo)

A + B

i es el valor menor del intervalo. / A es la altura a la izquierda / B es la altura a la derecha

Media aritmética: es la suma de todos los valores observados dividido por el total de observaciones.

X = ∑ (xi.yi) = ∑ (xi.fi)

Mediana (M_E): es el valor de la variable cierta que divide la serie de frecuencias en dos partes iguales de individuos observados, ordenados por el valor creciente del atributo.

La mediana se determina gráficamente en forma aproximada como la abcisa que corresponde a la coordenada de: Nen el grafico de frecuencias 2

acumuladas.

Fractiles: son los valores que representan una fracción del conjunto observado. Se usan cuando los anteriores valores característicos no representan el conjunto observado (o es muy disperso). Su calculo es muy parecido al de la mediana.

· Quartiles: dividen en 4 partes al conjunto observado.

· Deciles: dividen en 10 partes.

· Percentiles en 10 partes.

Cálculos de fractiles: gráficamente los cuartiles se determinan mediante el polígono de frecuencias acumuladas. Así Q₁ y Q₃serán las abscisas correspondientes a las ordenadas en N y 3N respectivamente. Q₂ es igual a Ny Q₄es igual a N

4 4 2

Para calcular estas medidas se acumulan las frecuencias, sumando a cada frecuencia absoluta todas las anteriores o todas las posteriores, con lo que se obtienen las frecuencias acumuladas.

· Frecuencia acumulada izquierda absoluta F_AIcomo el numero de individuos observados que poseen valores menores o iguales que un determinado valor de la variable.

· Frecuencia acumulada derecha absoluta G_AI como el numero de individuos observados que poseen valores mayores o iguales que un determinado valor de la variable.

Si se divide cada frecuencia acumulada por el numero total de individuos observados N, se obtiene las frecuencias acumuladas relativas, F_I y G_I

Parámetros de dispersión o desvío: son las diferencia entre un valor cualquiera que puede tomar la variable y el valor medio. Estos parámetro indican la distancia a la que se encuentran los correspondientes valores respecto a la referencia. La suma de todas las desviaciones con respecto a la media es igual a 0.

e_I= x_i - X

Varianza: es el promedio de los desvíos elevados al cuadrado, multiplicados por fi. La varianza representa la variabilidad que tienen los datos entre si, ósea, el área de dispersión de los datos tomando como centro el promedio.

σ²= ∑ (x_i².f_i)

Dispersión o desvío típico: es la raíz cuadrada de la varianza. Representa la variabilidad o la distancia de los datos en promedio respecto de la media.

σ = ∑ √ (x_i².f_i)

Si el valor de σ es grande, esta alejado de la mediana.

Si el valor de σ es pequeño, esta cerca de la mediana.

Por esto se introduce el concepto de coeficiente de variación: es la relación que existe entre el desvió estándar y la media aritmética, multiplicada por 100.

C_V= σ . 100

Representación grafica

Se efectúa mediante un histograma, que esta formado por rectángulos cuya base es el intervalo de clase y cuya altura es igual a la frecuencia.

También existe la representación poligonal, que en el histograma une los puntos medios de la base superior, se llama polígono de frecuencias y se indica con línea punteada.

Además esta el grafico de frecuencias acumuladas izquierda F_AI en termino de x.

Ejemplo:

De una población de 500 personas se registran sus pesos obteniéndose los siguientes valores

Peso en Kg.	50 – 60	60 – 70	70 – 80	80 – 90	90 – 100
Nro de personas	30	150	180	90	50

Averiguar moda, mediana, valor medio, desviación estándar, varianza.

Graficar Histograma y frecuencia acumulada.

Intervalo	Cantidad de datos yi	Valor Medio ci	Frecuencia Relativa fi = yi/N	Media X= ci .fi	(ci-X)²	Varianza σ² = (ci-X)². fi	Frec. Acumul
50–60	30	55	0,06	3,3	384,16	23,0496	30
60–70	150	65	0,3	19,5	92,16	27,648	180
70–80	180	75	0,36	27	0,16	0,0576	360
80–90	80	85	0,18	15,3	108,16	19,4688	450
90–100	50	95	0,1	9,5	416,16	41,61	500
	N = 500			X= 74,6		σ²=111,84

σ= √111,84

σ= 10,57

Moda = valor inicial intervalo + a . (ancho del intervalo)

a + b

Moda = 70 + ( 30 . 10)

30 + 90

Moda = 72,5

180= 70

10 x

x = 3,8

Me = 70 + 3,8 = 73,8

Variable Aleatoria

Cuando se lleva a cabo una experiencia aleatoria, se obtiene una cantidad que lleva asociada una probabilidad de ocurrencia; dicha cantidad recibe el nombre de variable aleatoria. Esta nos permite pasar de los resultados experimentales a una función numérica. El valor numérico depende del resultado del experimento.

La variable aleatoria queda definida por una tabla del siguiente tipo:

Es variable porque son posibles diferentes valores numéricos. Es aleatoria porque el valor obtenido depende de cual de los posibles resultados aparezca y porque involucra la probabilidad de los resultados del espacio muestral.

Las variables aleatorias llevan asociadas una probabilidad de ocurrencia y se calculan antes de la experiencia (a priori).

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas:

· Discreta: Si el numero de valores que puede tener es contable (finito o infinito). Se utiliza, por ejemplo, para expresar cantidades de unidades defectuosas o le cantidad de vehículos que arriban o parten.

· Continua: Si se puede tomar cualquier valor numérico en un intervalo o conjuntos de intervalos. Se utiliza, por ejemplo, para expresar escalas de medición (tiempo, peso, distancia, temperatura, etc.)

Distribuciones probabilísticas discretas

Definición: es una realización mutuamente excluyente de todos los resultados numéricos posibles para esa variable aleatoria, de modo tal que la probabilidad de ocurrencia se relaciona en particular con cada caso. Se define:

P(x = r) o P (r) r = valores que puede tomar x = variable aleatoria

Se debe cumplir que la suma de las probabilidades puntuales de todos los valores sea igual a 1.

Se define como función de distribución o función de probabilidad acumulada a la probabilidad de que la variable aleatoria x sea mayor o igual ; o menor o igual a un valor de r.

Izquierda: P(x ≤ r) = ∑ [P(r_i)]
Derecha: P(x ≥ r) = ∑ [P(r_i)]

Para las variables aleatorias se definen dos parámetros:

· Esperanza matemática: es el valor promedio de una variable aleatoria después de infinitas observaciones.

E(x) = ∑ r_i. P(r_i)

· Varianza: es el valor esperado al cuadrado de las desviaciones de la variable aleatoria respecto de su esperanza matemática. Indica cuan dispersa puede ser la distribución:

V(x)= ∑ [ (r_i- μ)² . P(r_i) ]

Si se introducen desvíos resulta

V(x)= ∑ [ e_i². P(r_i) ]

· Dispersión: es el valor que mide la dispersión de los valores que toma la variable respecto de la esperanza matemática.

D(x) = √σ² = σ

Ejemplo: Siendo la variable aleatoria x la suma de las caras superiores que resulta al arrojar dos dados, se desea saber cual es la probabilidad de que cada valor que toma la variable y su esperanza matemática.

R1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P(ri)	1/36	1/18	1/12	1/9	5/36	1/6	5/36	1/9	1/12	1/18	1/36

E(x) = 2.1/36 + 3.1/18 …....... = 7

V(x)= ∑ [ (r_i - 7)². P(r_i) ]

D(x) = √σ² = σ = 2,4152

Distribuciones probabilísticas continuas

Esta caracterizada por una función que recibe el nombre de función de densidad de probabilidad. Esta función proporciona un medio para determinar la probabilidad de ocurrencia en un intervalo variable (a ≤ x ≤ b), ya que cada valor que toma la variable aleatoria no se le puede asociar una probabilidad de ocurrencia, porque esta probabilidad vale cero.

Propiedades:

a) Especificar el dominio de la variable: -∞ ≤ x ≤ ∞

b) Para todo valor de x que toma la variable, Φ(x) es positiva.

c) Las funciones de distribución de probabilidad acumulada izquierda y derecha de la

normal son:_–(a-μ)2

Izquierda: P(x ≤ a) = Φ(a) = 1 . -_∞∫^a e ²^σ²dx

σ √2π

_{–(a-μ )2}

Derecha: P(x ≥ a) = Φ(a) = 1 . _a∫^∞e ²^σ²dx

σ √2π

d) El área encerrada bajo la curva que describe dicha función, en todo el dominio es igual a 1.

-_∞∫^∞ Φ(x) dx

Distribución normal

Las duraciones son variables aleatorias que se comportan según la normal. La apariencia graficas de la distribución es una curva simétrica con forma de campana (Campana de Gauss) que se extiende sin límite tanto en la dirección positiva como la negativa.

Se define la función de densidad de la probabilidad normal como:

_–(_x_-_μ₎₂

Φ(x)= 1 .e ²^σ²

σ √2π

Donde μ es la esperanza matemática de la variable y la σ dispersión.

El cálculo de estas funciones de distribución puede resolverse mediante el uso de integrales o mediante el uso de tablas.

El valor de Φ(a) estará dado por el área bajo la campana de Gauss hasta el valor a.

Como las integrales no se pueden evaluar directamente, se utilizan las tablas, donde a esta distribución se le encuentra otra distribución estándar, a partir de una variable reducida (Z) que permite calcular estas funciones para cualquier distribución normal:

Z = x – μ variable estándar = centrada en la campana eje y

Esta variable reducida Z es normal con el eje de simetría en cero y puntos de inflexión en 1 y -1. Los valores de Z pueden encontrarse en tablas apropiadas y reducen el problema a una suma o resta de áreas de acuerdo con lo que se pida.

Por la propiedad que tiene la distribución normal estándar de distribuirse simétricamente alrededor de su media (que vale cero) se demuestra que:

Φ(-z) = 1 – Φ (z)

Ejemplo: Los pesos de un grupo de 600 personas se distribuye normalmente con valor medio 67 y desvío strandar 5. Calcular cual es la probabilidad de que pesen entre 60 y 80.

Z1= 60 – 67 = -1,4 Z2 = 80 – 67= 2,6

5 5

P (60 < x < 80)= P (-1,4 < x < 2,6) = P(0 < x < 2,6) - P (0 < x < 1,4)

= 0,9953 - (1 – 0,9192)

= 0,9953 - 0,0808

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